新智元报道
【导读】GPT-5.5 Pro 生成了一份数学证明，刚刚成功解决了计算几何领域一个困扰陈立杰长达 7 年的姚班核心难题。这一突破的传奇陈立关键技术源自 OpenAI 上月发布的另一项重大成果，而最初推动该问题进展的杰苦陈立杰惊讶地发现，解开谜题的思年算何钥匙竟藏在自己参与的工作之中。
6 月 24 日，核心arXiv 平台发布了一篇重磅论文：加州大学圣地亚哥分校（UCSD）的难题研究员 Barna Saha、Yinzhan Xu 和 Christopher Ye 证明，推翻「最远点对」（Farthest Pair）等经典计算几何问题，刚刚在任意超常数维度下，姚班其时间复杂度下限为近平方时间（Near-Square Time）。传奇陈立
论文链接：https://arxiv.org/pdf/2606.25887
论文明确指出，杰苦初始证明由 GPT-5.5 Pro生成。思年算何
给 AI 的核心提示词（Prompt）极简，仅两句话，难题大意是「尝试利用这篇论文的思路去改进另一篇论文中的已知结果」，并附上了两篇参考文献链接。
这个问题早在 7 年前就由陈立杰推进至接近极限，而填补最后一块拼图的关键技术，恰好来自他上个月在 OpenAI 参与的另一项研究工作。
陈立杰在 X（原 Twitter）上难掩激动，直呼：「This is incredible!!!」
陈立杰苦思 7 年的核心难题
陈立杰是算法领域的顶级天才，IOI 金牌得主，本科毕业于清华大学「姚班」，博士毕业于 MIT，师从理论计算机科学家 Ryan Williams。毕业后，他曾任加州大学伯克利分校助理教授，现任职于 OpenAI，是理论计算机科学界备受瞩目的青年学者之一。
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2018 年，陈立杰在读博期间发表的首篇论文便在该问题上取得关键进展，将维度下界推进至 $2^{Theta(log^* n)}$。
论文链接：https://arxiv.org/pdf/1802.02325
其中，$\log^$ 是一个增长极其缓慢的函数。即便以宇宙中原子总数（约 $10^{80}$）这样天文数字般的数值代入计算，$\log^$ 的结果也仅为 5 左右。
陈立杰此前已将下界逼至一个几乎不再增长的门槛，再进一步便撞上了理论上的「硬墙」。此后 7 年间，他虽断断续续思考，却始终未能跨越这道障碍。
直到上个月，他在 OpenAI 参与了对 Erdős 单位距离猜想的反证工作。随后，这篇新论文的作者们发现，该工作中使用的代数数论技术，恰恰是跨过最后一步所需的关键钥匙。
猜想科普：高维空间中的「最远点对」
这个重大猜想的具体含义是什么？
想象一个体育馆内坐了一万人，目标是找出坐得最远的两个人。
如果体育馆是二维平面，只需两个坐标即可描述每个人的位置，存在高效的算法可快速求解。
但如果每个人的「位置」需要用 100 个、甚至 1000 个数值来描述呢？这就进入了高维空间。
目前已知最好的算法运行时间大致为 $n^{2-c/d}$，其中 $n$ 是点的数量，$d$ 是维度，$c$ 是常数。
- 低维情况：指数明显小于 2，存在捷径可走。
- 高维情况：指数逼近 2，算法退化为暴力枚举（即比较每一对点）。
这篇论文回答的核心问题是：算法不够聪明，还是问题本身天生就难？
答案是后者。
只要维度 $d$ 在增长（哪怕增长缓慢至 $\log \log \log \log n$，这对天文数字而言仅等于 2），就不可能存在真正快于 $n^2$ 的算法。现有算法的表现已触及理论极限。
这一结论同样适用于一系列相关问题，包括双色最近点对、最大内积搜索（Max Inner Product Search）、Hopcroft 问题等。
前提条件：该结论依赖于 SETH（强指数时间假设，Strong Exponential Time Hypothesis）。SETH 认为 SAT 问题（判断布尔公式是否可满足）不存在比暴力搜索快得多的算法。这一假设在理论计算机科学中被广泛接受，大量下界结论均建立在其基础之上。
卡点：质数太稀疏了
此前所有攻克方法共享一个核心思路：
- 将长向量切割成 $L$ 个小块，每块 $b$ 位。
- 对每个小块用不同的质数取余数。
- 根据中国剩余定理，如果一个数对足够多个不同的质数取余均为零，则该数本身为零。
因此，只要用 $b$ 个不同的质数分别检验每一位，即可判断两个向量的内积是否为零。
问题出在「足够多」三个字上。
$b$ 个不同的质数，最小也需要排到第 $b$ 个质数，其值约为 $b \log b$。这些质数的乘积随 $b$ 呈指数级增长，导致编码后的数字大得离谱。
当维度较低、每块位数 $b$ 较大时，编码的计算开销甚至超过原问题本身，导致该方法失效。
陈立杰在 2020 年通过递归技巧将这一矛盾压至极限，但再往下，「质数密度不够大」这堵墙便无法翻越。
破局：在另一个数学世界里让质数「裂开」
转机来自一个看似无关的方向。
大家熟知复数，即在实数基础上引入 $i$（满足 $i^2 = -1$），形成新的数系。数学家发现，同样的操作可推广至有理数（分数）领域：加入特定的根，即可构建新的数系，称为「数域」。
例如，加入 $\sqrt{2}$，得到所有形如 $a + b\sqrt{2}$（$a, b$ 为有理数）的数。这个新数系拥有自己的「整数环」和「素理想」（即新数系中的「质数」）。
关键突破在于：
在普通整数世界中，7 是质数，不可拆分。
但在包含 $\sqrt{2}$ 的数域中，7 可以分解为 $(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})$。
一个原本不可分割的质数，在新数系中「裂开」成了两个因子，各自充当「质数」的角色。
这就像更换了货币体系：原来一张 100 元钞票无法找零，换币后，同等价值可用许多小面额硬币凑齐。质数不够用的问题，由此迎刃而解。
论文采用了一种更精密的构造（CM 域），使得少量大小约 $\sqrt{L}$ 的质数（$L$ 为向量块数），每个都能裂解为 $\Theta(b)$ 个素理想（$b$ 为每块位数）。
- 过去：需要 $b$ 个大质数。
- 现在：只需常数个中等大小质数，裂开后数量充足。
这一技巧源自 OpenAI 今年对 Erdős 单位距离猜想的反证工作。
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OpenAI 官方链接
Erdős 在 1946 年提出该猜想时遇到的瓶颈与计算几何问题几乎一致：质数密度不足。OpenAI 的证明通过代数数论绕过了这面墙，而新论文作者借助 GPT-5.5 Pro 发现，同一套工具可直接迁移。
质数「裂开」后，还需三步完成归约：
- 编码：在数域的整数环中编码向量，使正交与非正交向量对映射至不同的代数值。
- 嵌入：嵌入复数域，利用代数性质确保映射后的值仍可区分。
- 还原：取实部虚部进行四舍五入，映射回普通整数，同时控制舍入误差。
整个归约的计算开销被压缩至 $\tilde{O}(b\sqrt{L} \log L)$，对于任意超常数维度而言均足够小。
归约成立。
AI 是如何找到这个证明的？
论文第 6 页完整引用了给 ChatGPT 5.5 Pro 的原始 Prompt，包含两个链接和一句话：
「Try to use this proof idea [Link 1] to improve the $2^{O(log^* n)}$ bound in [Link 2].」
GPT-5.5 Pro 首次尝试并未成功。经过多轮交互，包括要求模型继续尝试、根据 AI 生成的反馈修复手稿，最终产出了可用的证明。
后续阶段动用了 Codex迭代手稿，Claude Opus和 Gemini参与审阅。
验证环节同样依赖 AI。作者使用 Aristotle（亚里士多德，一种 AI 定理证明器）在 Lean 4中对关键引理进行了形式化验证，而这一形式化工作又依赖于 Aleph Prover此前对 OpenAI 单位距离证明的形式化成果。
论文对 AI 的角色定位十分坦诚：
- 初始 Prompt基本上是人类唯一有数学实质的输入。
- 作者明确声明，已完整验证和编辑了证明，并对正确性负全部责任。
这种分工模式——人类提供方向性洞察（「用 A 的方法攻克 B」），AI 完成繁重的技术推导，形式化工具负责验证——正在成为数学研究中一种可复制的协作范式。
作者简介
这篇论文由一位印度裔学者和两位华人学者共同完成：
Barna Saha
- 身份：印度裔美国理论计算机科学家，UCSD 计算机科学与工程系 Harry E. Gruber 冠名教授，Halıcıoğlu 数据科学研究所兼职教职。
- 研究方向：概率方法的算法应用、概率数据库、细粒度复杂度及大数据分析。
- 荣誉：2019 年总统青年科学家和工程师奖（PECASE）、斯隆研究奖。
Yinzhan Xu（徐寅展）
- 身份：UCSD 计算机科学系博士后研究员，导师为 Barna Saha。
- 背景：MIT 博士（导师 Virginia Vassilevska Williams），MIT 本科（计算机科学和数学双学位）。
- 成就：IOI 2014（国际信息学奥林匹克竞赛）金牌，并列第一名。
- 研究方向：理论计算机科学，特别是细粒度复杂度和算法设计。
Christopher Ye
- 身份：UCSD 计算机科学理论组四年级博士生，导师为 Barna Saha 和 Russell Impagliazzo。
- 背景：2021 年普林斯顿大学数学学士，曾在摩根士丹利固定收益部门担任量化分析师一年。
- 研究方向：算法设计、细粒度复杂度、计算复杂度及学习理论。
当 AI 开始给数学「牵红线」
这篇论文的意义远超单个定理本身。
单位距离问题属于组合几何，而最远点对的下界属于计算复杂性理论。这两个领域的研究者平时鲜少互相引用。
AI 识别出它们共享同一个技术瓶颈（质数密度不足），并将一侧的突破成功迁移至另一侧。
新的下界还将产生下游影响。论文指出，最大内积搜索的复杂性约束，直接影响几何图线性代数、动态神经元触发检测以及 Transformer 注意力计算的理论天花板。一个纯数学定理，为工程优化划定了边界。
数学史上许多重要进展源于跨领域的意外连接：傅里叶分析从热传导走向信号处理，黎曼几何从纯数学走向广义相对论。这些连接过去依赖个别天才的直觉和广泛阅读。
如今，AI 正在开始系统性地扮演这一「连接者」角色。
证明这件事本身，比 AI 证明单个定理更为重要。
参考资料：
https://arxiv.org/pdf/2606.25887
编辑：马可